関数解析の三大定理の点列による完全証明から凝縮数学・Bartle-Graves定理まで

証明 対偶を示す。 $\sup_{T \in \mathcal{F}} \|T\| = \infty$ と仮定し、ある $x \in X$ が存在して $\sup_{T \in \mathcal{F}} \|Tx\| = \infty$ となることを示す。各点での有界性の仮定と矛盾しない範囲で、そのような $x$ を級数 $x = \sum_{k=1}^\infty x_k$ の極限として具体的に構成する。 便宜上、各 $x \in X$ に対して $\sup_{T \in \mathcal{F}} \|Tx\| = M(x) < \infty$ と仮定する。この仮定のもとで矛盾を導く。帰納的に、作用素の列 $T_k \in \mathcal{F}$ と点列 $x_k \in X$ を次のように構成する。 まず $x_0 = 0 \in X$ とし、 $T_0 \in \mathcal{F}$ を任意に選ぶ。 $k \ge 1$ とし、 $x_1, \dots, x_{k-1}$ までが既に構成されたとする。定数 $R_{k-1} = \sum_{j=1}^{k-1} M(x_j)$ とおく。仮定 $\sup_{T \in \mathcal{F}} \|T\| = \infty$ より、作用素のノルムがいくらでも大きいものを選べるため、次を満たす $T_k \in \mathcal{F}$ が存在する。 $$\|T_k\| > 4^k (k + R_{k-1})$$ 作用素ノルムの定義より、ある $y_k \in X$ が存在して、 $\|y_k\| \le 3^{-k}$ かつ $$\|T_k y_k\| > \frac{2}{3} 3^{-k} \|T_k\|$$ を満たす。次に $x_k$ を、 $x_k = y_k$ または $x_k = -y_k$ のいずれかとして定義する。 $s_{k-1} = \sum_{j=1}^{k-1} x_j$ とおく。ノルムの三角不等式により、 $$\|T_k (s_{k-1} + y_k)\| + \|T_k (s_{k-1} - y_k)\| \ge \|T_k(2y_k)\| = 2\|T_k y_k\|$$ が成り立つため、 $\|T_k (s_{k-1} + y_k)\|$ と $\|T_k (s_{k-1} - y_k)\|$ の少なくとも一方は $\|T_k y_k\|$ 以上である。そこで、 $s_k = s_{k-1} + x_k$ としたとき、 $$\|T_k s_k\| \ge \|T_k y_k\|$$ を満たすように符号を選び、 $x_k \in \{y_k, -y_k\}$ を決定する。 この構成をすべての $k \ge 1$ について行う。各 $k$ について $\|x_k\| = \|y_k\| \le 3^{-k}$ であるから、級数 $\sum_{k=1}^\infty x_k$ は $X$ において絶対収束する。 $X$ は Banach 空間であるため完備であり、この絶対収束する級数はある $x \in X$ に収束する。すなわち $x = \sum_{k=1}^\infty x_k$ である。 この $x$ について $T_k x$ のノルムを評価する。任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、 $x = s_k + \sum_{j=k+1}^\infty x_j$ と書けるため、 $$\|T_k x\| \ge \|T_k s_k\| - \left\| T_k \sum_{j=k+1}^\infty x_j \right\|$$ となる。右辺第1項は、構成時の選択より $\|T_k s_k\| \ge \|T_k y_k\| > \frac{2}{3} 3^{-k} \|T_k\|$ である。右辺第2項は、 $T_k$ の有界性より、 $$\left\| T_k \sum_{j=k+1}^\infty x_j \right\| \le \|T_k\| \sum_{j=k+1}^\infty \|x_j\| \le \|T_k\| \sum_{j=k+1}^\infty 3^{-j} = \|T_k\| \frac{3^{-(k+1)}}{1 - 1/3} = \frac{1}{2} 3^{-k} \|T_k\|$$ と評価できる。したがって、これらを組み合わせると、 $$\|T_k x\| > \frac{2}{3} 3^{-k} \|T_k\| - \frac{1}{2} 3^{-k} \|T_k\| = \frac{1}{6} 3^{-k} \|T_k\|$$ を得る。ここで、 $T_k$ の選び方から $\|T_k\| > 4^k (k + R_{k-1}) \ge 4^k k$ であったから、 $$\|T_k x\| > \frac{1}{6} 3^{-k} (4^k k) = \frac{k}{6} \left(\frac{4}{3}\right)^k$$ となる。 $k \to \infty$ のとき、この右辺は $\infty$ に発散する。したがって $\sup_{k} \|T_k x\| = \infty$ となり、これは各 $x \in X$ に対して $\sup_{T \in \mathcal{F}} \|Tx\| < \infty$ であるという最初の仮定に矛盾する。ゆえに、 $\sup_{T \in \mathcal{F}} \|T\| < \infty$ でなければならない。（証明終）

証明 $T$ が開写像であることを示すには、原点を中心とする開球 $B_r^X(0) = \{x \in X \mid \|x\| < r\}$ の像 $T(B_r^X(0))$ が、 $Y$ における原点の近傍を含むことを示せば十分である。線形性により、ある $c > 0$ が存在して $\overline{T(B_1^X(0))} \supset B_c^Y(0)$ となること（ステップ1）、そしてそこから逐次近似により閉包を外し $T(B_2^X(0)) \supset B_c^Y(0)$ が導かれること（ステップ2）を示せばよい。 ステップ 1: 像の閉包が内点を持つこと
ある $R > 0$ に対して $\overline{T(B_R^X(0))}$ が内点を持つことを背理法で示す。すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $\overline{T(B_n^X(0))}$ が内点を持たない（すなわち内部が空である）と仮定し、 $Y$ においてこれらをすべて避けるような Cauchy 列を構成して矛盾を導く。 まず $n=1$ について、 $\overline{T(B_1^X(0))}$ は内点を持たないため、 $Y$ 全体を覆うことはできない。したがって、ある $y_1 \in Y$ と $r_1 > 0$ が存在して、閉球 $\overline{B_{r_1}^Y(y_1)}$ は $T(B_1^X(0))$ と交わらないようにできる。ここで $r_1 < 1$ としておく。 次に $n=2$ について、 $\overline{T(B_2^X(0))}$ も内点を持たないため、開球 $B_{r_1}^Y(y_1)$ を覆うことはできない。したがって、ある $y_2 \in B_{r_1}^Y(y_1)$ と $r_2 > 0$ が存在して、 $\overline{B_{r_2}^Y(y_2)} \subset B_{r_1}^Y(y_1)$ であり、かつ $\overline{B_{r_2}^Y(y_2)} \cap T(B_2^X(0)) = \emptyset$ を満たすように選べる。ここで $r_2 < r_1 / 2$ としておく。 これを帰納的に繰り返し、各 $k \ge 2$ に対して、 $y_k \in B_{r_{k-1}}^Y(y_{k-1})$ および $0 < r_k < r_{k-1} / 2$ を選び、 $\overline{B_{r_k}^Y(y_k)} \subset B_{r_{k-1}}^Y(y_{k-1})$ かつ $\overline{B_{r_k}^Y(y_k)} \cap T(B_k^X(0)) = \emptyset$ を満たすようにできる。 この列 $(y_k)_{k=1}^\infty$ は Cauchy 列である。なぜなら、 $m > k$ なる任意の $m$ に対して $y_m \in B_{r_k}^Y(y_k)$ であり、 $\|y_m - y_k\| < r_k < 2^{-k+1}$ となるからである。 $Y$ は Banach 空間であるため完備であり、この列はある $y \in Y$ に収束する。 各 $k$ について、 $m \ge k$ ならば $y_m \in \overline{B_{r_k}^Y(y_k)}$ であるから、極限 $y$ も閉集合 $\overline{B_{r_k}^Y(y_k)}$ に属する。構成より $\overline{B_{r_k}^Y(y_k)}$ は $T(B_k^X(0))$ と交わらないため、 $y \notin T(B_k^X(0))$ である。これがすべての $k \in \mathbb{N}$ で成り立つため、 $y \notin \bigcup_{k=1}^\infty T(B_k^X(0)) = T(X)$ となる。これは $T$ が全射であるという仮定に矛盾する。 したがって、ある $R > 0$ について $\overline{T(B_R^X(0))}$ は内点を持つ。すなわち、ある $y_0 \in Y$ と $r > 0$ が存在して、 $B_r^Y(y_0) \subset \overline{T(B_R^X(0))}$ となる。 任意の $y \in B_r^Y(0)$ をとる。このとき $y_0 + y \in B_r^Y(y_0) \subset \overline{T(B_R^X(0))}$ である。一方、原点を中心とする球の対称性と $T$ の線形性から、 $T(B_R^X(0))$ は原点対称であり、その閉包も原点対称である。ゆえに $y_0 \in \overline{T(B_R^X(0))}$ より $-y_0 \in \overline{T(B_R^X(0))}$ である。 $T(B_R^X(0))$ は凸集合であるため、その閉包も凸集合である。したがって、これら2点の凸結合（中点）をとると、 $$\frac{(y_0 + y) + (-y_0)}{2} = \frac{y}{2} \in \overline{T(B_R^X(0))}$$ となる。これに $2$ を掛ければ、 $y \in 2\overline{T(B_R^X(0))} = \overline{T(B_{2R}^X(0))}$ を得る。 ゆえに $B_r^Y(0) \subset \overline{T(B_{2R}^X(0))}$ である。スカラー倍 $c = r / 2R$ を考えれば、 $B_c^Y(0) \subset \overline{T(B_1^X(0))}$ が得られる。 ステップ 2: 近似列の構成（閉包を外す）
任意の $y \in B_c^Y(0)$ をとる。 $y \in \overline{T(B_1^X(0))}$ であるから、ある $x_1 \in B_1^X(0)$ が存在して $\|y - Tx_1\| < c/2$ を満たす。 $y - Tx_1 \in B_{c/2}^Y(0)$ であり、線形性から $B_{c/2}^Y(0) \subset \overline{T(B_{1/2}^X(0))}$ であるため、ある $x_2 \in B_{1/2}^X(0)$ が存在して $\|(y - Tx_1) - Tx_2\| < c/4$ を満たす。 これを帰納的に繰り返し、各 $n$ について $x_n \in B_{1/2^{n-1}}^X(0)$ を選び、 $$\|y - \sum_{i=1}^n Tx_i\| < \frac{c}{2^n}$$ を満たすようにできる。級数 $\sum_{n=1}^\infty x_n$ のノルムの和は $\sum_{n=1}^\infty \|x_n\| < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = 2$ となり絶対収束する。 $X$ は完備であるから、極限 $x = \sum_{n=1}^\infty x_n$ が $X$ 内に存在し、ノルムは $\|x\| \le \sum_{n=1}^\infty \|x_n\| < 2$ 、すなわち $x \in B_2^X(0)$ である。 $T$ の連続性より、部分和の極限と $T$ は交換可能であり、 $$T(x) = T\left(\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N x_n\right) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N T(x_n)$$ となる。構成より $\|y - \sum_{n=1}^N T(x_n)\| < c / 2^N$ であり、 $N \to \infty$ のとき右辺は $0$ に収束するため、 $\sum_{n=1}^\infty T(x_n) = y$ である。ゆえに $Tx = y$ であり $y \in T(B_2^X(0))$ となるため、 $B_c^Y(0) \subset T(B_2^X(0))$ が示された。 これをスケール変換すれば、 $B_{c/2}^Y(0) \subset T(B_1^X(0))$ となり、原点の近傍が像に含まれるため $T$ は開写像である。（証明終）

証明 $X$ と $Y$ は Banach 空間であるため、直積空間 $X \times Y$ もノルム $\|(x, y)\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$ によって完備な Banach 空間となる。仮定より $\Gamma(T)$ は $X \times Y$ の閉部分空間であるため、 $\Gamma(T)$ 自身もその誘導ノルムに関して Banach 空間をなす。 ここで、射影写像 $\pi_1 \colon \Gamma(T) \to X$ を $\pi_1(x, Tx) = x$ で定義する。 $\pi_1$ は明らかに線形写像であり、さらにノルムについて $$\|\pi_1(x, Tx)\|_X = \|x\|_X \le \|x\|_X + \|Tx\|_Y = \|(x, Tx)\|$$ が成り立つため有界（連続）である。また、任意の $x \in X$ に対して $(x, Tx) \in \Gamma(T)$ が唯一つ定まるため、 $\pi_1$ は全単射である。 $\Gamma(T)$ と $X$ はともに完備な Banach 空間であり、 $\pi_1$ は全射な連続線形写像であるから、先ほど証明した開写像定理により $\pi_1$ は開写像である。全単射な開写像の逆写像は連続となるため、逆写像 $\pi_1^{-1} \colon X \to \Gamma(T)$ は有界である。 すなわち、ある定数 $C > 0$ が存在して、任意の $x \in X$ に対して $$\|\pi_1^{-1}(x)\| \le C \|x\|_X$$ が成り立つ。 $\pi_1^{-1}(x) = (x, Tx)$ であるから、左辺の $X \times Y$ におけるノルムを展開して $$\|x\|_X + \|Tx\|_Y \le C \|x\|_X$$ となり、これを移項すれば $\|Tx\|_Y \le (C - 1) \|x\|_X$ を得る。これは作用素 $T$ が有界（連続）であることを意味している。（証明終）

証明 $X$ における原点 $0$ を中心とする半径 $1$ の開球を $U_1 = \{x \in X \mid \|x\| < 1\}$ とする。 $T$ は開写像であるから、開集合 $U_1$ の像 $T(U_1)$ は $Y$ における開集合である。 $0 \in U_1$ であり $T(0) = 0$ であるから、 $T(U_1)$ は $Y$ の原点 $0$ を含む開集合である。したがって、ある $r > 0$ が存在して、 $Y$ の開球 $V_r = \{y \in Y \mid \|y\| < r\}$ が $T(U_1)$ に含まれる。すなわち $V_r \subset T(U_1)$ である。 任意の $y \in Y \setminus \{0\}$ をとる。 $y' = \frac{r}{2\|y\|} y$ とおくと、ノルムの性質から $\|y'\| = \frac{r}{2\|y\|} \|y\| = \frac{r}{2} < r$ となる。したがって $y' \in V_r$ であり、 $V_r \subset T(U_1)$ より $y' \in T(U_1)$ である。像の定義から、ある $x' \in U_1$ が存在して $T(x') = y'$ を満たす。 ここで、 $x = \frac{2\|y\|}{r} x'$ とおく。 $T$ の線形性から、 $$T(x) = T \left( \frac{2\|y\|}{r} x' \right) = \frac{2\|y\|}{r} T(x') = \frac{2\|y\|}{r} y' = y$$ となる。また、 $x$ のノルムは、 $x' \in U_1$ より $\|x'\| < 1$ であるから、 $$\|x\| = \frac{2\|y\|}{r} \|x'\| < \frac{2}{r} \|y\|$$ と評価できる。 $y = 0$ の場合は $x = 0$ と選べば $T(0) = 0$ かつ $\|0\| \le \frac{2}{r} \|0\|$ を満たす。ゆえに、 $M = \frac{2}{r}$ とおけば、すべての $y \in Y$ に対して条件を満たす $x \in X$ が存在することが示された。（証明終）

証明 $Y$ における任意の収束列 $(y_n)_{n=1}^\infty$ をとり、その極限を $y \in Y$ とする。すなわち $\lim_{n \to \infty} y_n = y$ である。 $T$ は全射であるから、 $T(x_\infty) = y$ を満たす $x_\infty \in X$ が少なくとも1つ存在する。これを選ぶ。 各 $n \in \mathbb{N}$ に対して、 $y_n - y \in Y$ を考える。先の補題により、定数 $M > 0$ と、各 $n$ に依存する要素 $z_n \in X$ が存在して、 $$T(z_n) = y_n - y \quad \text{かつ} \quad \|z_n\| \le M\|y_n - y\|$$ を満たす。ここで、 $X$ の列 $(x_n)_{n=1}^\infty$ を $x_n = z_n + x_\infty$ として定義する。 $T$ の線形性より、 $$T(x_n) = T(z_n + x_\infty) = T(z_n) + T(x_\infty) = (y_n - y) + y = y_n$$ となり、各 $x_n$ は $y_n$ の原像になっている。 次に、列 $(x_n)$ が $X$ において $x_\infty$ に収束することを示す。ノルムの評価から、 $$\|x_n - x_\infty\| = \|z_n\| \le M\|y_n - y\|$$ が成り立つ。仮定より $\lim_{n \to \infty} y_n = y$ であるから $\lim_{n \to \infty} \|y_n - y\| = 0$ である。はさみうちの原理により $\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_\infty\| = 0$ となり、これは $\lim_{n \to \infty} x_n = x_\infty$ を意味する。以上により、 $Y$ の収束列 $(y_n)$ は $X$ の収束列 $(x_n)$ に持ち上がることが証明された。（証明終）

反例の証明 まず $T$ が連続かつ全射であることを示す。 任意の $x \in X$ について、数列の各成分の絶対値の最大値は、成分の絶対値の総和を超えることはない。すなわち、 $$\|Tx\|_\infty = \|x\|_\infty = \sup_{i \ge 1} |x_i| \le \sum_{i=1}^\infty |x_i| = \|x\|_1$$ が成り立つ。これは $\|Tx\|_\infty \le 1 \cdot \|x\|_1$ を意味し、 $T$ は有界（連続）である。定義域と終域が集合として同一の恒等写像であるため、明らかに全単射（したがって全射）である。 次に、 $T$ が開写像ではないことを示す。 もし $T$ が開写像であれば、逆写像 $T^{-1} \colon Y \to X$ も連続でなければならない。 各 $k \in \mathbb{N}$ に対して、最初の $k$ 個の成分が $1$ でそれ以降が $0$ である数列 $e^{(k)} = (1, 1, \dots, 1, 0, 0, \dots) \in c_{00}$ を考える。 $Y$ におけるノルムは $\|e^{(k)}\|_\infty = 1$ である。 一方、 $X$ におけるノルムは $\|T^{-1}(e^{(k)})\|_1 = \|e^{(k)}\|_1 = k$ である。 もし $T^{-1}$ が連続であれば、ある定数 $C > 0$ が存在して $\|T^{-1}y\|_1 \le C\|y\|_\infty$ が成り立つはずであるが、上記より $k \le C \cdot 1$ となり、任意の $k$ に対して定数 $C$ が上界を持つことになり矛盾する。ゆえに $T^{-1}$ は連続ではなく、 $T$ は開写像ではない。 最後に、 $Y$ において収束するが $X$ に持ち上がらない列を構成する。 各 $n \in \mathbb{N}$ に対して、数列 $y^{(n)} \in Y$ を次のように定義する。 $$y^{(n)} = \left( \frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}, 0, 0, \dots \right)$$ （最初の $n$ 個の成分が $\frac{1}{\sqrt{n}}$ でそれ以降は $0$）。 $Y$ における $y^{(n)}$ のノルムは $\|y^{(n)}\|_\infty = \frac{1}{\sqrt{n}}$ であるから、 $n \to \infty$ のとき $\|y^{(n)}\|_\infty \to 0$ となる。すなわち、列 $(y^{(n)})$ は $Y$ において $0$ に収束する。 この列が $X$ の収束列に持ち上がるかを確認する。 $T$ は全単射であるため、各 $y^{(n)}$ の原像は $x^{(n)} = T^{-1}(y^{(n)}) = y^{(n)}$ と一意に定まる。したがって、持ち上がる列が存在するとすれば、それは $(x^{(n)})_{n=1}^\infty$ しかあり得ない。 $X$ における $x^{(n)}$ のノルムを計算すると、 $$\|x^{(n)}\|_1 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}} = n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$$ となる。 $n \to \infty$ のとき $\|x^{(n)}\|_1 \to \infty$ となるため、列 $(x^{(n)})_{n=1}^\infty$ は $X$ において発散し、いかなる点にも収束しない。 以上により、 $Y$ において $0$ に収束する列 $(y^{(n)})$ は、 $X$ におけるいかなる収束列にも持ち上がらないことが証明された。（証明終）

証明 $X = \{0\}$ 、 $Y = \mathbb{R}$ とし、それぞれ通常のノルムを入れた Banach 空間とする。 $T \colon X \to Y$ を $T(0) = 0$ で定義される零写像とする。 $T$ は連続線形写像であるが、全射ではない。 $S = \{*\}$ を $1$ 点からなるコンパクト Hausdorff 空間とし、連続写像 $g \colon S \to Y$ を $g(*) = 1$ で定義する。 もし $T \circ f = g$ を満たす写像 $f \colon S \to X$ が存在したと仮定すると、 $f(*) \in X = \{0\}$ であるから $f(*) = 0$ となる。 したがって $T(f(*)) = T(0) = 0$ となるが、一方で $g(*) = 1$ であるため、 $0 = 1$ となり矛盾する。ゆえにリフト $f$ は存在しない。（証明終）

証明 証明は3つのステップに分けて行う。 ステップ 1: 開写像定理によるノルム評価の準備
$T \colon X \to Y$ は Banach 空間から Banach 空間への全射連続線形写像であるから、開写像定理より $T$ は開写像である。したがって、ある定数 $M > 0$ が存在して、任意の $y \in Y$ に対して、 $Tx = y$ かつ $\|x\| \le M\|y\|$ を満たす $x \in X$ が存在する。 ステップ 2: 単位の分割を用いた近似リフトの構成
任意の連続写像 $g \colon S \to Y$ と任意の $\epsilon > 0$ に対して、連続写像 $h \colon S \to X$ であって、以下の2条件を満たすものが存在することを示す。
(i) 任意の $t \in S$ について $\|g(t) - Th(t)\| < \epsilon$
(ii) 任意の $t \in S$ について $\|h(t)\| \le M \sup_{s \in S} \|g(s)\|$
任意の $s \in S$ に対して、 $g(s) \in Y$ である。ステップ 1 の結果より、ある $x_s \in X$ が存在して、 $Tx_s = g(s)$ かつ $\|x_s\| \le M\|g(s)\|$ を満たす。 $Tx_s = g(s)$ であるから、 $g(s) - Tx_s = 0$ である。写像 $g$ は連続であるため、各 $s \in S$ に対して $s$ を含むある開集合 $U_s \subset S$ が存在して、任意の $t \in U_s$ に対して $\|g(t) - Tx_s\| < \epsilon$ が成り立つ。 集合族 $\{U_s \mid s \in S\}$ はコンパクト空間 $S$ の開被覆であるから、有限部分被覆 $\{U_{s_1}, \dots, U_{s_n}\}$ が存在する。 コンパクト Hausdorff 空間は正規空間 (normal space) であるから、この有限開被覆に従属する連続な単位の分割 $\{\varphi_1, \dots, \varphi_n\}$ が存在する。すなわち、各 $\varphi_i \colon S \to [0, 1]$ は連続であり、 $\varphi_i(t) > 0$ となる $t$ は $U_{s_i}$ に属し、かつすべての $t \in S$ に対して $\sum_{i=1}^n \varphi_i(t) = 1$ を満たす。 ここで写像 $h \colon S \to X$ を次のように定義する。 $$h(t) = \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) x_{s_i}$$ 各 $\varphi_i$ は連続であり、 $X$ はベクトル空間であるから、 $h$ は連続写像である。 $T$ の線形性により、 $$Th(t) = \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) Tx_{s_i}$$ となる。 $\sum_{i=1}^n \varphi_i(t) = 1$ であるため、 $g(t) = \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) g(t)$ と書ける。したがって、 $$g(t) - Th(t) = \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) (g(t) - Tx_{s_i})$$ が成り立つ。ノルムの三角不等式により、 $$\|g(t) - Th(t)\| \le \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) \|g(t) - Tx_{s_i}\|$$ を得る。ここで、 $\varphi_i(t) > 0$ となるような $i$ については $t \in U_{s_i}$ であるため、 $\|g(t) - Tx_{s_i}\| < \epsilon$ が成り立つ。ゆえに、 $$\|g(t) - Th(t)\| < \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) \epsilon = \epsilon$$ となり、条件 (i) が示された。 さらに、 $h(t)$ のノルムを評価する。 $\|x_{s_i}\| \le M\|g(s_i)\| \le M \sup_{s \in S} \|g(s)\|$ であるから、 $$\|h(t)\| \le \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) \|x_{s_i}\| \le \sum_{i=1}^n \varphi_i(t) M \sup_{s \in S} \|g(s)\| = M \sup_{s \in S} \|g(s)\|$$ となり、条件 (ii) も示された。 ステップ 3: 帰納的構成と完備性による極限
ステップ 2 を用いて、連続写像の列 $h_k \colon S \to X$ と $g_k \colon S \to Y$ を帰納的に構成する。 まず $g_0 = g$ とする。 $k = 0, 1, 2, \dots$ に対して、帰納的に $h_k$ と $g_{k+1}$ を以下のように定める。 ステップ 2 において、対象とする写像を $g_k$ 、誤差を $\epsilon_k = 2^{-(k+1)}$ として適用し、連続写像 $h_k \colon S \to X$ であって次を満たすものを得る。 $$\|g_k(t) - Th_k(t)\| < \frac{1}{2^{k+1}} \quad (\forall t \in S)$$ $$\|h_k(t)\| \le M \sup_{s \in S} \|g_k(s)\| \quad (\forall t \in S)$$ そして、次の写像 $g_{k+1} \colon S \to Y$ を $$g_{k+1}(t) = g_k(t) - Th_k(t)$$ で定義する。 この構成により、すべての $k \ge 0$ に対して $\sup_{t \in S} \|g_{k+1}(t)\| \le 2^{-(k+1)}$ が成り立つ。 したがって、 $k \ge 1$ に対しては、 $h_k(t)$ のノルムは以下のように評価できる。 $$\|h_k(t)\| \le M \sup_{s \in S} \|g_k(s)\| \le \frac{M}{2^k} \quad (\forall t \in S)$$ ここで、関数項級数 $\sum_{k=0}^\infty h_k(t)$ を考える。 $k \ge 1$ において $\sup_{t \in S} \|h_k(t)\| \le M 2^{-k}$ であり、 $\sum_{k=1}^\infty M 2^{-k}$ は収束する。Weierstrass の M判定法により、この級数は $C(S, X)$ において一様絶対収束する。 $X$ は Banach 空間（すなわち完備）であるから、極限 $$f(t) = \sum_{k=0}^\infty h_k(t)$$ は $S$ から $X$ への連続写像として well-defined である。 最後に、 $T \circ f = g$ を確認する。 $T$ は連続線形写像であるから極限と交換することができ、 $$Tf(t) = T \left( \sum_{k=0}^\infty h_k(t) \right) = \sum_{k=0}^\infty Th_k(t) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N Th_k(t)$$ となる。構成から $Th_k(t) = g_k(t) - g_{k+1}(t)$ であるため、和をとると中間項が打ち消し合い、 $$\sum_{k=0}^N Th_k(t) = \sum_{k=0}^N (g_k(t) - g_{k+1}(t)) = g_0(t) - g_{N+1}(t) = g(t) - g_{N+1}(t)$$ となる。 $N \to \infty$ のとき、 $\sup_{t \in S} \|g_{N+1}(t)\| \le 2^{-(N+1)} \to 0$ であるから、 $$Tf(t) = \lim_{N \to \infty} (g(t) - g_{N+1}(t)) = g(t)$$ がすべての $t \in S$ に対して成り立つ。 以上により、 $T \circ f = g$ を満たす連続写像 $f \colon S \to X$ の存在が完全に証明された。（証明終）

証明 $\underline{T} \colon \underline{X} \to \underline{Y}$ がエピ射であることを示すためには、任意の極端不連結なコンパクト Hausdorff 空間 $S$ に対して、写像 $\underline{T}_S \colon \underline{X}(S) \to \underline{Y}(S)$ が全射であることを示せば十分である。 任意の $g \in \underline{Y}(S) = C(S, Y)$ をとる。 $S$ は極端不連結なコンパクト Hausdorff 空間である。極端不連結性は特別な位相的性質であるが、 $S$ がコンパクト Hausdorff 空間であるという事実に変わりはない。 したがって、前節で証明した定理（コンパクト Hausdorff 空間からのリフト）を適用することができる。 定理により、ある連続写像 $f \colon S \to X$ が存在して、 $T \circ f = g$ が成り立つ。 この $f$ は $S$ から $X$ への連続写像であるため、 $f \in \underline{X}(S)$ である。 $\underline{T}_S$ の定義は、 $f \mapsto T \circ f$ であるから、 $$\underline{T}_S(f) = T \circ f = g$$ となる。これは、任意の $g \in \underline{Y}(S)$ に対して、それを $\underline{T}_S$ で写像した結果となる $f \in \underline{X}(S)$ が存在することを意味する。 ゆえに、各 $S$ に対して $\underline{T}_S$ は全射であり、凝縮ベクトル空間の圏の射 $\underline{T}$ はエピ射である。（証明終）

証明 $T$ は全射な連続線形写像であるから、開写像定理より開写像である。したがって、ある定数 $M > 0$ が存在して、任意の $y \in Y$ に対して $Tx = y$ かつ $\|x\| \le M\|y\|$ を満たす $x \in X$ が存在する。 各 $s \in S$ に対して $g(s) \in Y$ であるから、条件を満たす $x_s \in X$ を一つ選ぶことができる。すなわち $Tx_s = g(s)$ かつ $\|x_s\| \le M\|g(s)\|$ である。写像 $g$ と $T$ は連続であるから、各 $s \in S$ に対して、 $S$ における開近傍 $V_s = \{t \in S \mid \|g(t) - Tx_s\| < \epsilon\}$ を定義できる。 $Tx_s = g(s)$ であるため $s \in V_s$ であり、族 $\{V_s \mid s \in S\}$ は $S$ の開被覆となる。 $S$ はパラコンパクト空間であるため、この開被覆の局所有限な開細分 $\{U_i \mid i \in I\}$ が存在し、それに従属する連続な単位の分割 $\{\varphi_i \mid i \in I\}$ が存在する。ここで、各 $i \in I$ に対してある $s_i \in S$ が存在し、 $U_i \subset V_{s_i}$ を満たす。各 $\varphi_i \colon S \to [0, 1]$ は連続であり、台 (support) は $U_i$ に含まれ、各 $t \in S$ に対して $\sum_{i \in I} \varphi_i(t) = 1$ を満たす。 写像 $\phi \colon S \to X$ を次のように定義する。 $$\phi(t) = \sum_{i \in I} \varphi_i(t) x_{s_i}$$ 局所有限性から、各点 $t \in S$ の近傍において非ゼロとなる $\varphi_i$ は有限個であるため、この和は well-defined であり、 $\phi$ は連続写像となる。 ノルムを評価する。 $\sum_{i \in I} \varphi_i(t) = 1$ であるから、 $g(t) = \sum_{i \in I} \varphi_i(t) g(t)$ と書ける。したがって、 $$g(t) - T\phi(t) = \sum_{i \in I} \varphi_i(t) (g(t) - Tx_{s_i})$$ が成り立つ。 $\varphi_i(t) > 0$ となるような $i$ については $t \in U_i \subset V_{s_i}$ であるため、 $\|g(t) - Tx_{s_i}\| < \epsilon$ である。ゆえに、 $$\|g(t) - T\phi(t)\| \le \sum_{i \in I} \varphi_i(t) \|g(t) - Tx_{s_i}\| < \sum_{i \in I} \varphi_i(t) \epsilon = \epsilon$$ となり、条件 (i) が示された。また、 $$\|\phi(t)\| \le \sum_{i \in I} \varphi_i(t) \|x_{s_i}\| \le \sum_{i \in I} \varphi_i(t) M\|g(s_i)\| \le M \sup_{s \in S} \|g(s)\|$$ となり、条件 (ii) も示された。（証明終）

証明 $Y$ の単位球面を $S_Y = \{y \in Y \mid \|y\| = 1\}$ とする。 $Y$ は距離空間であるから、 $S_Y$ も距離空間であり、A. H. Stone の定理より $S_Y$ はパラコンパクトな Hausdorff 空間である。 帰納的に、連続写像の列 $\phi_k \colon S_Y \to X$ と $g_k \colon S_Y \to Y$ を構成する。 まず、 $g_0 \colon S_Y \to Y$ を包含写像 $g_0(y) = y$ とする。このとき $\sup_{y \in S_Y} \|g_0(y)\| = 1$ である。 $k = 0, 1, 2, \dots$ に対して、補題を $S = S_Y$ 、写像 $g_k$ 、誤差 $\epsilon = 2^{-(k+1)}$ として適用し、連続写像 $\phi_k \colon S_Y \to X$ を得る。すなわち、 $$\|g_k(y) - T\phi_k(y)\| < \frac{1}{2^{k+1}} \quad (\forall y \in S_Y)$$ $$\|\phi_k(y)\| \le M \sup_{z \in S_Y} \|g_k(z)\| \quad (\forall y \in S_Y)$$ を満たす。次に $g_{k+1}(y) = g_k(y) - T\phi_k(y)$ と定義する。 この構成により、すべての $k \ge 0$ に対して $\sup_{y \in S_Y} \|g_{k+1}(y)\| \le 2^{-(k+1)}$ が成り立つ。したがって、 $k \ge 1$ に対しては $$\|\phi_k(y)\| \le M \frac{1}{2^k}$$ が成り立つ。（ $k=0$ のときは $\|\phi_0(y)\| \le M$ である。） $X$ は Banach 空間であるから、関数項級数 $\sum_{k=0}^\infty \phi_k(y)$ は一様絶対収束する。その極限を $h_0 \colon S_Y \to X$ とおく。 $$h_0(y) = \sum_{k=0}^\infty \phi_k(y)$$ 各 $\phi_k$ は連続であるから、 $h_0$ も連続写像である。 $T$ の連続性と線形性から、極限と $T$ は交換可能であり、 $$Th_0(y) = \sum_{k=0}^\infty T\phi_k(y) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N (g_k(y) - g_{k+1}(y)) = \lim_{N \to \infty} (g_0(y) - g_{N+1}(y)) = g_0(y) = y$$ がすべての $y \in S_Y$ に対して成り立つ。また、ノルムは $$\|h_0(y)\| \le \|\phi_0(y)\| + \sum_{k=1}^\infty \|\phi_k(y)\| \le M + \sum_{k=1}^\infty \frac{M}{2^k} = M + M = 2M$$ と評価される。 最後に、この $h_0$ を $Y$ 全体に拡張して $h \colon Y \to X$ を次のように定義する。 $$h(y) = \begin{cases} \|y\| h_0\left(\frac{y}{\|y\|}\right) & (y \neq 0) \\ 0 & (y = 0) \end{cases}$$ $y \neq 0$ のとき、 $h$ は連続写像の合成とスカラー倍であるから連続である。 $y \to 0$ のとき、 $$\|h(y)\| = \|y\| \left\| h_0\left(\frac{y}{\|y\|}\right) \right\| \le 2M \|y\| \to 0$$ となるため、 $y=0$ においても連続である。ゆえに $h$ は $Y$ 上の連続写像である。 ノルムについては、構成から任意の $y \in Y$ に対して $\|h(y)\| \le 2M\|y\|$ が成り立つ。 $T$ の線形性より、 $y \neq 0$ のとき $$T(h(y)) = T\left( \|y\| h_0\left(\frac{y}{\|y\|}\right) \right) = \|y\| T\left( h_0\left(\frac{y}{\|y\|}\right) \right) = \|y\| \frac{y}{\|y\|} = y$$ となり、 $T(h(0)) = T(0) = 0$ であるから、 $h$ は $T$ の右逆写像である。 また、任意の $c > 0$ と $y \neq 0$ に対して、 $$h(cy) = \|cy\| h_0\left(\frac{cy}{\|cy\|}\right) = c\|y\| h_0\left(\frac{cy}{c\|y\|}\right) = c \|y\| h_0\left(\frac{y}{\|y\|}\right) = c h(y)$$ となり、 $c=0$ や $y=0$ の場合も自明に成り立つため、正斉次性が示された。（証明終）